Тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция
f (
x) имеет период 2
T, то её Ф. р. имеет вид
,
где
a0,
an,
bn (
n ≥ 1) -
Фурье коэффициенты. В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах
Фурье - Римана,
Фурье - Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2π-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).
Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций (См.
Ортогональная система функций), а именно - по тригонометрической системе 1, cos
x, sin
x, cos 2
x, sin 2
x,..., cos
nx, sin
nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы
Фурье)
обращают в минимум интеграл
,
где tn (x) - произвольный тригонометрический полином порядка ≤ n, а функция f (x) интегрируема с квадратом. При этом
,
так что функции
f (
x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами
Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см.
Приближение и интерполирование функций).
Для любой интегрируемой функции
f (
x) коэффициенты
Фурье an,
bn при
n → ∞ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция
f (
x) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты
Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции
f (
x) интегрируем, то
ряд сходится и имеет место равенство Парсеваля
.
Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел
an,
bn со сходящимся рядом
существует функция с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами
Фурье (немецкий математик Э. Фишер, венгерский математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна.
Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция
f (
x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П.
Дирихле). Более общо, если
f (
x) имеет ограниченное изменение (см.
Изменение функции), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором
f (
x) непрерывна (К.
Жордан). Если
f (
x) непрерывна и её модуль непрерывности ω(δ,
f) удовлетворяет условию
, то её Ф. р. равномерно сходится (итальянский математик У. Дини, 1880).
Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x0 зависит от поведения функции f (x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x0 функция f (x) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x0 - 0) и f (x0 + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x0, то он сходится к значению 1/2{f (x0 - 0) + f (x0 + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f (x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x).
Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н.
Колмогоров, 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства
Lp (-π, π) с
p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые "дефекты сходимости" породили методы суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм
Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции
f (
x) сумма Фейера
при
n → ∞ равномерно сходятся к
f (
x) (Л.
Фейер, 1904).
Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965.